我们拿出两个大小相同的硬币上下摆动，按住下方的硬币不让它动，然后让上方的硬币绕着不动的硬币滚动一周，此时很多人会下意识地认为在滚动的过程中外侧的硬币应该会转动一周，然而事实情况并非如此，硬笔足足转动了两周才滚回起点，这一反直觉的现象就被人们称作“硬币悖论”。虽然说两个圆接触的路径确实是一个周围，也就是2πr，但是，对于滚动圆的圆心来说它走过的路径可不只是一个圆周，而是4πr。 这一问题最早出现于1982年5月1日美国高考数学题中，如题所示，两个圆的半径不同，小圆的半径是大圆半径的1/3，问题是如果要小圆绕着大圆滚回原位，那么它需要转多少圈，答案有五个，和前面的硬币问题相似，多数人甚至是出题人都认为答案是3圈，然而有了前车之鉴我们再亲手操作一下就会发现小圆转了整整4圈才回到起点，也就是说这道题的答案是错的，在当年参与考试的30万考生里只有3个学生给出了正确答案，最终也只有三位学生获得了该题的分数。 而这类题其实也有一个比较套路的算法，即用公转圆圆心画出的圆的半径除以这个公转圆的半径就得到了公转圆转动的圈数，以上述高考题目为例，小圆的半径为1，它的圆心走过的圆的半径为1+3＝4，因此，最终得到的答案就是小圆转动了4圈。可是答案、套路和方法似乎都有了，错觉产生的原因却仍不明晰，为什么外侧滚动的圆总会多转一周呢？我们可以先让圆在直线上滚动。 假设这个小圆的周长是1，它下方的直线长度也是1，那么滚过这条直线，圆刚好转了1圈，接下来把直线换成一个变成为1的等边三角形，那么滚过3条边小圆是不是转动了3圈呢？并没有那么简单，因为在拐弯时圆心还发生了120°的旋转，而三个拐角相加小圆也就多转了360°，因此绕一个等边三角形滚动小圆转动了4圈，同理我们可以延伸到正方形、正五边形、正六边形等等，最后都会得到一个相同的结果，小圆多转了一圈，而将多边形的边数拓展到无穷大也就得到了一个圆。
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